Sebaran Peluang Kontinu

SEBARAN PELUANG KONTINYU

Menurut  Walpole  (1986)  pada  umumnya  grafik  distribusi kontinyu berbentuk  lonceng, suatu sebaran dikatakan simetris atau setangkup jika dapat dilipat sepanjang sumbu tertentu sehingga kedua bagian saling menutupi. Sebaran yang tidak setangkup terhadap suatu sumbu tegak dikatakan tak setangkup atau condong.

Sebaran yang termasuk peubah acak kontinyu, antara lain :

1.   Distribusi Normal

2.   Distribusi Student

3.   Distribusi Chi-kuadrat

4.   Distribusi F

1. Distribusi Normal

Distribusi Normal (Gaussian) mungkin merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. Distribusi ini paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil di berbagai bidang yang meliputi antara lain karakteristik fisik makhluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan, dll). Terdapat empat alasan mengapa distribusi normal menjadi distribusi yang paling penting :

a. Distribusi normal terjadi secara alamiah.

b. Beberapa variabel acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah ditransformasi menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal.

c. Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya bisa berfungsi dengan benar jika model distribusinya merupakan distribusi normal.

d. Ada  beberapa  variabel  acak  yang  tidak  menunjukkan  distribusi  normal  pada populasinya, namun distribusi dari rata-rata sampel yang diambil secara random dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.

Distribusi Normal disebut juga Gausian distribution adalah salah satu fungsi distribusi peluang berbentuk lonceng seperti gambar berikut.

f(x)= fungsi densitas peluang normal

π  = 3,1416, nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal . e  = 2,7183, bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal

μ   = parameter, rata-rata untuk distribusi.

σ   = parameter, simpangan baku untuk distribusi. untuk - ∞ < x < ∞, maka dikatakan bahwa variabel acak X berdistribusi normal.

Sifat-sifat distribusi normal:

1) grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x.

2) Nilai rata-rata = modus = median

3) bentuknya simetrik terhadap sumbu x =  μ.

4) Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada

5) Ujung grafiknya hanya mendekati sumbu x atau tidak akan bersinggungan maupun berpotongan dengan             sumbu x (berasimtut dengan sumbu x).

6) Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

2. DISTRIBUSI STUDENT t

W.S. Gosset menuliskan distribusi peluang t pada saat bekerja diperusahaan bir di Irlandia (1908). Perusahaan tersebut melarang semua karyawan untuk menerbitkan hasil penelitiannya. Untuk menghindari larangan tersebut W.S. Gosset menerbitkan karyanya secara rahasia dengan nama student. Oleh sebab itulah distribusi t disebut sebagai distribusi peluang student t.

Distribusi Student atau distribusi t, ialah Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya, selain daripada distribusi normal dengan fungsi densitasnya adalah :

Untuk harga-harga n yang besar, biasanya n ≥ 30, distribusi t mendekati distribusi normal baku.

Distribusi probabilitas t-Student diturunkan dari distribusi probabilitas normal baku, dalam bentuk yang berkaitan dengan distribusi probabilitas khi-kuadrat, yakni :

dengan z₁, z₂, z₃, . . . sebagai distribusi probabilitas normal baku dan

c²_n= z²₁ + z²₂ + z²₃ + . . . + z²_n

dari distribusi probabilitas khi-kuadrat.

KURVA DISTRIBUSI t

TABEL DISTRIBUSI t

Distribusi t bentuk kurva simetris

1. Puncak sebuah rata-ratanya ditengah berimpit dengan t=0, makin jauh dari puncaknya,         kurva makin landai mendekati sumbu datarnya

2. Kasus normal dengan jumlah sampel n < 30 dan simpangan baku  populasi (s )  tidak           diketahui sehingga nilainya digantikan dengan simpangan baku  sampel ( S )

   Misalkan t adalah variabel random berdistribusi student, maka distrbusi peluangnya              adalah  –∞ < t < ∞

Dimana :

     K        : bilangan tetap yang tergantung pana n

     n-1     : derajat kebebasan, dengan n jumlah sampel

     n ≥ 30: distribusi t mendekati distribusi normal

Luas di bawah kurva t antara ordinat t1 dan t2 merupakan peluang peubah acak t yang mendapat nilai antara t = t1 dan t = t2. Jadi dapat dituliskan sebagai berikut :

     

P ( t1 < t < t2 ) =

Nilai t1 dan t2 dapat ditentukan dari tabel t sedangkan luas di bawah kurva tergantung a yang diambil. Misalkan a = 0,05, maka t0,05 maksudnya luas di sebelah kanan t0,05 adalah 0,05 dan di sebelah kiri t0,05 adalah 0,95. Selain itu, karena sifat kesimetrisan maka distribusi t mempunyai sifat -ta = t1-a.

Distribusi t digunakan untuk sampel dengan syarat :

  a)   sampel diambil secara acak dari suatu populasi berukuran kecil n < 30 
  b)   variabel penelitian tidak lebih dari satu

  c)   hipotesis nol bernilai besar

Fungsi lain dari distribusi ini adalah

a)   untuk memperkirakan interval  rata-rata

b)   menguji hipotesis rata-rata suatu sampel

c)   menunjukkan  batas  penerimaan  suatu hipotesis

d)   menguji suatu  pernyataan apakah sudah layak dipercaya

3. Distribusi Khi-Kuadrat

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi khi-kuadrat (bahasa Inggris: Chi-square distribution) ataudistribusi χ² dengan k derajat bebas adalah distribusi jumlah kuadrat k peubah acak normal baku yang saling bebas. Distribusi ini seringkali digunakan dalam statistika inferensial, seperti dalam uji hipotesis, atau dalam penyusunanselang kepercayaan. Apabila dibandingkan dengan distribusi khi-kuadrat nonsentral, distribusi ini dapat juga disebut distribusi khi-kuadrat sentral.

Salah satu penggunaan distribusi ini adalah uji khi-kuadrat untuk kebersesuaian (goodness of fit) suatu distribusi pengamatan dengan distribusi teoretis, kriteria klasifikasi analisis data yang saling bebas, serta pendugaan selang kepercayaan untuk simpangan baku populasi berdistribusi normal dari simpangan baku sampel. Sejumlah pengujian statistika juga menggunakan distribusi ini, seperti Uji Friedman. Distribusi khi-kuadrat merupakan kasus khusus distribusi gamma.

Manfaat dari distribusi chi-kuadrat, yaitu antara lain :

1.Untuk menguji apakah frekuensi yang diamati berbeda secara signifikan dengan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan.

2.Untuk menguji kebebasan (independensi antar faktor dari data dalam daftar kontingensi

3.Untuk menguji apakah data sampel mempunyai distribusi yang mendekati distribusi teoritis tertentu atau distribusi hipotesis tertentu (distribusi populasi), seperti distribusi binomial, distribusi poisson, dan distribusi normal.

Grafik distribusi chi kuadrat umumnya merupakan kurva positif, yaitu miring ke kanan. Kemiringan ini makin berkurang jika dk=v makin besar.

Distribusi Chi-Kuadrat memiliki sifat sebagai berikut:

1. Seluruh nilainya positif

2. Tidak simetris

3. Bentuk distribusi tergantung pada derajat kebebasannya

4. Mean dari distribusi c2 adalah derajat kebebasannya (n )


Beberapa sifat yang terkait dengan distribusi Chi-Kuadrat adalah

1. Bila merupakan variabel acak yang masing-masing berdistribusi normal dengan mean dan variansi dan seluruh variabel acak tersebut bebas satu sama lain, maka variabel acak dengan mempunyai distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan .

2. Bila sampel acak sebanyak n dari suatu populasi berdistribusi normal dengan mean dan
variansi diambil, dan pada setiap sampel tersebut dihitung variansi , maka variabel acak memiliki distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan .

4. Distribusi F

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi F merupakan distribusi probabilitas kontinyu.  Distribusi F juga dikenal dengan sebutan distribusi F Snedecor atau distribusi Fisher-Snedecor (setelah R.A. Fisher dan George W. Snedecor). Distribusi F seringkali digunakan dalam pengujian statistika, antara lain analisis varians dan analisis regresi.

F > 0, K = bilangan tetap yang harganya bergantung pada v1  dan v2  sedemikian hingga luas dibawah kurva sama dengan satu.  v1= dk pembilang dan v2  = dk penyebut. Jadi distribusi F memiliki dua buah derajat kebebasan.

Grafik  distribusi  F  tidak  simetrik  dan  umumnya  sedikit positif, untuk mengetahui harga F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan derajat kebebasan v1  dan v2  dapat dilihat dari daftar I. untuk melihat nilai F dengan 0,99 dan 0,95 digunakan hubungan